Tänään oli viimeinen tunti muodollisia kieliä. Se on siis matematiikkaa ehkä, tavallaan toisaalta tietojenkäsittelytieteitä. Joka tapauksessa pakollinen kurssi kumpaakin opiskeleville. Viikon pikaluento ei kertonut mitään järkevää, mutta mitäpä sitä järkevällä tekisikään.

Tuli tämänpäiväisellä luennolla sentään jännä huomio esille, tyyppiä 0, 1, 2, ja 3 olevia kieliä on numeroituva määrä, eli äärimmäisen vähän verrattuna kieliin kaikkiaan. Kysehän on nyt Chomskyn jaottelusta siis (iso nimi, tiedän tuntevani tämän nimen mutta en äkkiä osaa sanoa misät tarkalleen).

Niin, tyyppiä 0, 1, 2, ja 3 olevia kieliähän on äärettömästi. Mutta se on silti hirveän vähän verrattuna kieliin yleensä, joita on sentään ylinumeroituva määrä.

Kyse on mahtavuudesta. Jotkin joukot on mahtavampia kuin toiset. Otetaan vaikka kokonaisluvut, vieläpä positiiviset kokonaisluvut. Ne on aika helppo numeroida, sanotaan että 1 on luku numero yksi, ja 2 on luku numero kaksi ja niin edes päin äärettömiin asti. Numeroitu. Pienellä vaivalla voi numeroida myös koko kokonaislukujen joukko, tai vaikkapa rationaalilukujenkin joukko.

Helppo nähdä, että rationaalilukuja on enemmän kuin kokonaislukuja (no, niitä on kumpaakin äärettömästi, mutta jos kysytään vaikka kuinka monta kokonaislukua on nollan ja ykkösen välissä (0) ja kuinka monta rationaalilukua (ääretön) niin siitähän sen huomaa). Samalla tavoin tarkasteltuna voi myös ymmärtää, että reaalilukujakin on enemmän kuin rationaalilukuja. Tiettykin, kerta kaikki rationaaliluvut on reaalilukuja ja sitten päälle voidaan vielä lisätä vähemmän rationaaliset niin kuin neliöjuuri kaksi. Ja kompleksilukuja vielä enemmän kuin reaalilukuja, jos siitä lähdetään.

Jotkin joukot näet vain on mahtavampia kuin toiset. Se missä menee mielenkiintoiseksi, on todennäköisyyslaskenta äärettömässä, joka tunnetusti on vähän perseilyä. No, jos otetaan koko reaalilukujen joukko ja arvotaan niistä yksi, siis kaikista mahdollisista reaaliluvuista. Mikä on todennäköisyys osua kokonaislukuun? Entäpä rationaalilukuun? Vastaus on tietenkin nolla prosenttia. Siellä on äärettömän monta sopivaa vaihtoehtoa, mutta myös äärettömän monta epäsopivaa, ja tämä jälkimmäinen äärettömyys nyt sattuu ikään kuin tavallaan olemaan isompi sitä ensimmäistä (ei siinä että ääretöntä isompi mikään voisi olla),

Että hajottakaa siihen ajatusleikkiin päänne. Tästä minä sitten ehkä joskus valmistun, ja menen kiusaamaan lukiolaisia samalla sepityksellä.